Fourierova transformace

Prof. Jan Rak: Fraktály a Fourierova transformace - vibrace se přeměňuje na mentální obraz reality (tyto dva principy tvoří vše)

Fourierova transformace je integrální transformace převádějící signál mezi časově a frekvenčně závislým vyjádřením pomocí harmonických signálů, tj. funkcí sin a cos, obecně tedy funkcí komplexní exponenciály. Slouží pro převod signálů z časové oblasti do oblasti frekvenční. Signál může být buď ve spojitém či diskrétním čase. 

Diskrétní Fourierova transformace našla velké uplatnění zejména s rozvojem výpočetní techniky. Součástí řady přístrojů jsou jednoúčelové procesory realizující tuto transformaci. 

Situace se změnila po roce 1965, kdy J. W. Cooley a J. W. Tukey popsali velmi efektivní algoritmus výpočtu DFT, tzv. rychlou Fourierovu transformaci (FFT - Fast Fourier Transform), který vyžaduje jen N log2 N komplexních součinů a  N log2 N komplexních součtů. Díky tomuto algoritmu se stala diskrétní Fourierova transformace nejrozšířenějším prostředkem pro numerický výpočet Fourierovy transformace.

https://ivankuckir.blogspot.com/2013/11/fourierova-transformace-srozumitelne.html

O čem vypovídá Fourierova transformace?

Rovnice v podstatě říká, že jakýkoliv složitý vlnový signál, který chceme měřit, a který se mění v čase anebo prostoru, může být rozložen na sumu známých, pravidelných sinusových vln - stejného typu jaké známe z oceánů nebo z vibrujících strun.

Přemýšlejme o složitém signálu jako o dortu. Dort obsahuje mouku, cukr, vejce a máslo. Chuť žádné z těchto přísad nezakoušíme jednotlivě, když si dopřejeme kousek finálního výrobku. Pokud si za dortem představíme vlnový jev, pak receptem je Fourierova transformace. Tedy seznam ingrediencí a návod, jak je zkombinovat. A pokud chceme finální vlnový jev (dort) nějak přizpůsobit, je mnohem snazší udělat to tak, že nejdříve izolujeme jeho složky.

Fourierův vhled spočíval v tom, že izoloval pravidelnosti obsažené v něčem, co v reálném světě vypadalo jako složitý propletenec.

Písmenko F se nazývá transformace a popisuje vlastnosti specifické komponenty signálu vlnového typu při frekvenci "s".

Konkrétně popisuje amplitudu (maximální výšku vlny nad nulou a pod ní) a fázi (kolik z vlnového cyklu už proběhlo vzhledem k pevnému bodu). Na pravé straně rovnice reprezentuje f(x) proměnu signálu v prostoru (x je souřadnicí pozice). A to se násobí e (v matematice široce využívanou eulerovou konstantou s hodnotou 2,718) umocněnou na -i2πxs. To nám dává vlastnosti sinusové vlny při frekvenci "s".

Ale vzhledem k tomu, že chceme sumu všech frekvencí, výraz na pravé straně se sčítá napříč celým prostorem pro pravidelně se zvyšující hodnoty "s" (sčítání je reprezentováno integračním znakem - protaženým "S" nalevo a "dx" napravo).

Fourierova transformace laicky

Fourierova transformace dá dobře přiblížit například, když se podíváme na grafický ekvalizér starého hi-fi systému. Poskakující indikátory znázorňují sílu jednotlivých frekvencí v hudbě v kterémkoliv bodě v čase jako spektrum. Toto spektrum je vlastně okamžitým vyjádřením (ačkoliv jen hrubým) Fourierovy transformace zvuku vycházejícího z reprobeden.

Naše uši však provádějí Fourierovu transformaci nepřetržitě (nikoliv matematicky, ale víte, jak to myslím). Fyzikální podstatou zvukové vlny je soubor tlakových vln pohybujících se vzduchem.

Avšak to, co "slyšíme", nejsou vibrace, které tyto vlny vytvářejí na ušním bubínku. Místo toho komponenty vnitřního ucha provádějí druh Fourierovy transformace. Rozplétají složeninu tlakové vlny a izolují specifické frekvence a jejich přidružené amplitudy. Převádí je na spektrum elektrických signálů a v této podobě odesílají do mozku. Náš mozek si pak toto proměnlivé spektrum vykládá jako zvuk.

Fourierova transformace reprezentuje stejné informace jako původní signál. Avšak v podobě, ve které s ní mohou inženýři a fyzici mnohem lépe pracovat.

https://www.energiezivota.com/vedecke-objevy/fourierova-transformace-podstata-matrixu/

Nejnovější články na našem blogu

Přečtěte si, co je nového